Chain Rule & Product Rule

Chain rule (aturan rantai) dan product rule (aturan perkalian) adalah dua teknik inti diferensiasi yang mencakup ~80% pekerjaan menurunkan PDE. Artikel ini merangkum hasil sesi drill bertingkat 6 level, dari pangkat sederhana sampai turunan parsial untuk verifikasi solusi persamaan panas.

Chain Rule

Definisi

Dipakai saat ada fungsi di dalam fungsi (komposisi):

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Bahasa manusianya: turunkan fungsi luar (isi dalamnya jangan diutak-atik), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.

Intuisi

Laju perubahan berantai. Jika harga BBM naik 2x lebih cepat dari inflasi, dan ongkir naik 3x lebih cepat dari harga BBM, maka ongkir naik $3\times 2=6$x lebih cepat dari inflasi. Laju perubahan dikalikan berantai — makanya disebut chain rule.

Cara mengenali

Tanya ke diri sendiri: "ada 'sesuatu' di dalam fungsi lain nggak?"

• $\sin (\text{sesuatu})$
• $e^{\text{sesuatu}}$
• $(\text{sesuatu}{)}^n$

Kalau "sesuatu"-nya bukan sekadar $x$ polos → chain rule.

Cheat sheet pola

Bentuk	Turunan
$(\text{dalem}{)}^n$	$n(\text{dalem}{)}^{n-1}\cdot {\text{dalem}}^{\prime }$
$\sin (\text{dalem})$	$\cos (\text{dalem})\cdot {\text{dalem}}^{\prime }$
$\cos (\text{dalem})$	$-\sin (\text{dalem})\cdot {\text{dalem}}^{\prime }$
$e^{\text{dalem}}$	$e^{\text{dalem}}\cdot {\text{dalem}}^{\prime }$
$\ln (\text{dalem})$	$\frac{1}{\text{dalem}}\cdot {\text{dalem}}^{\prime }$

Semua polanya sama: turunan luar × turunan dalam. Tidak ada pengecualian.

Chain rule berlapis

Untuk 3+ lapis, kupas seperti bawang dari luar ke dalam. Tiap lapis menyumbang satu faktor perkalian.

Contoh: $y=\sin \left(e^{x^2}\right)$

Lapis 1 (terluar) : sin(.)   -> cos(e^(x^2))
Lapis 2 (tengah)  : e^(.)    -> e^(x^2)
Lapis 3 (terdalam): x^2      -> 2x
------------------------------------------
Hasil = kalikan semuanya

$y^{\prime }=\cos \left(e^{x^2}\right)\cdot e^{x^2}\cdot 2x$

⚠️ Jebakan #1: tanda minus di lapis tengah. Saat $\cos$ berada di lapis tengah (bukan terluar), tanda negatif dari turunannya gampang kececer. Contoh error nyata: $y=e^{\cos (2x)}$ → jawaban benar $-2\sin (2x)e^{\cos (2x)}$, tanda minusnya sempat hilang. Fix: tulis turunan tiap lapis eksplisit satu-satu dulu, baru kalikan di akhir. Jangan gabungkan di kepala.

Product Rule

Definisi

Dipakai saat ada perkalian dua fungsi yang sama-sama mengandung variabel yang diturunkan:

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

Kapan wajib, kapan tidak

Kasus	Contoh (turunkan thd $x$)	Perlu product rule?
Kedua faktor mengandung $x$	$x^3\sin (2x)$	Ya
Satu faktor tidak mengandung $x$	$e^{-\alpha k^{2}t}\sin (kx)$	Tidak — faktor $e^{-\alpha k^{2}t}$ konstanta

Chain rule sering nyempil di dalam product rule saat menurunkan masing-masing faktor.

Turunan Parsial: Resep 4 Langkah

Konteks: fungsi multivariabel $u(x,t)$, ini habitat asli PDE.

1. Sortir: faktor mana mengandung variabel yang diturunkan, mana yang "penonton"
2. Penonton → keluarkan, jadi konstanta pengali
3. Sisa satu faktor → chain rule biasa; sisa dua faktor → product rule
4. Kalikan balik penontonnya

Contoh worked: verifikasi solusi persamaan panas

Buktikan $u(x,t)=e^{-\alpha k^{2}t}\sin (kx)$ solusi dari:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

Sisi kiri — $\sin (kx)$ jadi penonton:

$\frac{\partial u}{\partial t}=-\alpha k^2{e}^{-\alpha k^{2}t}\sin (kx)$

Sisi kanan — $e^{-\alpha k^{2}t}$ jadi penonton, chain rule 2x:

$\frac{\partial u}{\partial x}=k{e}^{-\alpha k^{2}t}\cos (kx)$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-k^2{e}^{-\alpha k^{2}t}\sin (kx)$

$\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\alpha k^2{e}^{-\alpha k^{2}t}\sin (kx)✓$

Kedua sisi identik. Terbukti.

Shortcut

Untuk $u=e^{-\lambda t}\sin (kx)$ sebagai solusi persamaan panas:

$\alpha =\frac{\lambda }{k^2}$

Contoh: $u=e^{-4t}\sin (3x)$ → $\alpha =4/9$.

Intuisi fisik

• $\sin (kx)$ = bentuk gelombang spasial (tidak berubah bentuk)
• $e^{-\alpha k^{2}t}$ = amplitudo meluruh seiring waktu — panas menyebar, profil temperatur makin rata
• Faktor $k^2$ di eksponen: gelombang frekuensi tinggi (detail halus) meluruh jauh lebih cepat — inilah kenapa diffusion "menghaluskan" solusi

Jembatan ke CFD

Bentuk diskrit ${\partial }^{2}u/\partial x^2$ yang dipakai di step diffusion 12 Steps to Navier-Stokes-nya Barba (central difference):

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

Turunan bentuk ini dari Deret Taylor adalah gap berikutnya di Roadmap_Kalkulus_CFD.

Log Drill (2026-07-18)

Level	Materi	Soal	Hasil
1	Pangkat, dalem linear	3	☑ 3/3
2	Trigonometri	3	☑ 3/3
3	Eksponensial	3	☑ 3/3
4	Chain rule berlapis	4	☒ 3/4 — slip tanda di $e^{\cos (2x)}$, revenge di 4.4 ☑
5	Product + chain rule	3	☑ 3/3
6	Turunan parsial (PDE)	3	☑ 3/3

Total: 18/19. Satu-satunya error: tanda minus di lapis tengah (level 4), langsung diperbaiki dan tidak terulang di level 5–6 meski jebakannya sama.

Verifikasi SymPy

Sesuai metodologi implementation-first — spot-check jawaban manual:

import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t')

# Contoh: soal 6.3
u = sp.exp(-2*t) * sp.sin(x) * sp.cos(3*t)
jawaban_manual = sp.sin(x) * (-2*sp.exp(-2*t)*sp.cos(3*t) - 3*sp.exp(-2*t)*sp.sin(3*t))

# Harus keluar 0 kalau benar
print(sp.simplify(jawaban_manual - sp.diff(u, t)))

Lihat juga

• Turunan Dasar
• Persamaan Diferensial Parsial
• Persamaan Panas
• Taylor Series
• Finite Difference
• Roadmap_Kalkulus_CFD
• 12 Steps to Navier-Stokes