Taylor Series

Taylor Series adalah cara merepresentasikan fungsi smooth sebagai polinomial (jumlah tak hingga). Ide intinya: fungsi ribet ($\sin$, $e^x$, $\ln$) diaproksimasi pakai polinomial yang gampang dihitung (cuma tambah-kali), dengan cara menyamakan nilai dan semua turunannya di satu titik.

Intuisi

Bikin polinomial $P (x)$ yang "nyamar" jadi $f (x)$ di sekitar titik $a$ :

Nilainya sama di $x = a$
Kemiringan (turunan pertama) sama
Kelengkungan (turunan kedua) sama
... dst untuk semua orde turunan

f(x) ~ nilai + kemiringan + kelengkungan + ...

       f(a)  + f'(a)(x-a) + f(a)/2! (x-a)^2 + ...
        |         |              |
      orde 0   orde 1         orde 2

Rumus Umum

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n}$

Bentuk panjangnya:

$f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{‴} (a)}{3!} (x - a)^{3} + \dots$

Kalau $a = 0$ , namanya deret Maclaurin.

Kenapa ada $n!$ di penyebut? Tiap kali $(x - a)^{n}$ diturunkan berulang, muncul faktor $n (n - 1) (n - 2) \dots$ . Faktorial di penyebut "membatalkan" faktor ini supaya turunan ke- $n$ polinomial di titik $a$ pas sama dengan $f^{(n)} (a)$ . Itu satu-satunya fungsinya.

Resep 3 Langkah

Turunkan $f$ berkali-kali
Evaluasi semua turunan di titik ekspansi $a$
Masukkan ke slot-slot rumus

Contoh Lengkap: e^x

Step 1 — turunan. Keistimewaan $e^{x}$ : turunannya dirinya sendiri.

$f = f^{'} = f^{″} = f^{‴} = e^{x}$

Step 2 — evaluasi di $x = 0$ . Karena $e^{0} = 1$ :

$f (0) = f^{'} (0) = f^{″} (0) = \dots = 1$

Step 3 — masukkan ke rumus:

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

Verifikasi numerik — hitung $e^{1}$ term demi term:

Term ditambahkan	Kontribusi	Total sejauh ini
$1$	1	1
$x$	1	2
$x^{2} / 2$	0.5	2.5
$x^{3} / 6$	0.1667	2.6667
$x^{4} / 24$	0.0417	2.7083
$x^{5} / 120$	0.0083	2.7167
$x^{6} / 720$	0.0014	2.7181

Nilai asli $e = 2.71828 . . .$ — 7 term sudah dapat 4 digit benar. Tiap term baru makin kecil karena dibagi faktorial yang tumbuh jauh lebih ganas daripada $x^{n}$ .

Contoh Lain yang Sering Dipakai

Fungsi	Deret Maclaurin	Radius konvergensi
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$	$\infty$
$\sin x$	$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$	$\infty$
$\ln (1 + x)$	$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots$	$\| x \| < 1$
$\frac{1}{1 - x}$	$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$\| x \| < 1$

Catatan: penyebut $\ln (1 + x)$ itu $n$ biasa, bukan $n!$ — faktorialnya "kebatalan" sama pola turunannya. Ini yang bikin konvergensinya jauh lebih lambat.

Radius of Convergence

Deret Taylor tidak selalu konvergen di semua $x$ . Contoh $\ln (1 + x)$ :

konvergen          DIVERGEN
|=========|=========X=====================>
-1        0         1                     x
^                   ^
singularitas        batas radius
(ln 0 = -inf)

Di $| x | < 1$ : konvergen (makin dekat batas, makin lambat)
Di $| x | > 1$ : divergen total — nambah term malah bikin makin parah
Intuisi: deret Taylor "nggak bisa melihat" lebih jauh dari jarak titik ekspansi ke singularitas terdekat. $\ln (1 + x)$ punya singularitas di $x = - 1$ , jadi radiusnya 1 (simetris ke dua arah).

Implikasi praktis: implementasi $\log ()$ di libm tidak pakai Taylor mentah. Triknya range reduction: tulis $x = m \cdot 2^{e}$ (baca bit exponent IEEE 754), lalu $\ln x = \ln m + e \ln 2$ dengan $m \in [1, 2)$ — selalu di zona konvergen cepat. Pola sama dipakai buat $\sin$ / $\cos$ di libm dan CUDA/OpenCL math intrinsics.

Kapan Berhenti (Truncation)

Secara teori deretnya sampai $\infty$ . Secara praktik, potong di orde $n$ → jadi polinomial Taylor + error:

$f (x) = \underset{yang dihitung}{\underset{⏟}{P_{n} (x)}} + \underset{remainder / error}{\underset{⏟}{R_{n} (x)}}$

Rule of thumb (untuk deret alternating / konvergen cepat): error ≈ term pertama yang dibuang.

Berhenti di	Error untuk $e^{1}$
4 term	~0.05 (2 digit)
7 term	~0.0002 (4 digit)
10 term	~1e-7 (7 digit)
18 term	~1e-16 — mentok presisi double

Double IEEE 754 presisinya ~16 digit desimal. Nambah term lewat itu percuma — error sudah di bawah machine epsilon.

Implementasi Python

Loop dengan stopping criterion natural (berhenti pas kontribusi term < toleransi):

def my_exp(x, tol=1e-12):
    total = 0.0
    term = 1.0          # term ke-0: x^0/0! = 1
    n = 0
    while abs(term) > tol:
        total += term
        n += 1
        term *= x / n   # term berikutnya = term sekarang * x/n
    return total

print(my_exp(1.0))   # 2.718281828459045

Trik penting: term *= x / n — jangan hitung $x^{n}$ dan $n!$ dari nol tiap iterasi (overflow untuk $n$ besar), cukup update term sebelumnya secara inkremental.

Verifikasi simbolik pakai sympy:

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
print(sp.series(sp.exp(x), x, 0, 6))
# 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

Relevansi ke CFD / HPC

Finite difference = aplikasi langsung Taylor. Skema $\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i + 1} - u_{i}}{Δ x}$ diturunkan dari ekspansi $u (x + Δ x)$ . Analisis order of accuracy (kenapa forward difference $O (Δ x)$ , central difference $O (Δ x^{2})$ ) semuanya lewat Taylor. Fondasi seluruh numerical PDE, termasuk 12 Steps to Navier-Stokes.
Fungsi transcendental di hardware. sinf(), expf(), __sinf() CUDA — implementasinya polinomial evaluation (minimax polynomial, sepupunya Taylor) + range reduction.
Konvergensi itu conditional. Jangan asumsi semua fungsi bisa di-Taylor-kan sembarangan di semua titik — cek radius of convergence.

Lihat Juga

Kategori:Kalkulus Kategori:Scientific Computing Kategori:Roadmap CFD