SanzSkuy: Created page with "'''Taylor Series''' adalah cara merepresentasikan fungsi smooth sebagai polinomial (jumlah tak hingga). Ide intinya: fungsi ribet ($\sin$, $e^x$, $\ln$) diaproksimasi pakai polinomial yang gampang dihitung (cuma tambah-kali), dengan cara menyamakan nilai dan semua turunannya di satu titik. == Intuisi == Bikin polinomial $P(x)$ yang "nyamar" jadi $f(x)$ di sekitar titik $a$ : * Nilainya sama di $x = a$ * Kemiringan (turunan per..."

2026-07-16T09:32:42Z

Created page with "'''Taylor Series''' adalah cara merepresentasikan fungsi smooth sebagai polinomial (jumlah tak hingga). Ide intinya: fungsi ribet ($\sin$, $e^x$, $\ln$) diaproksimasi pakai polinomial yang gampang dihitung (cuma tambah-kali), dengan cara menyamakan nilai dan semua turunannya di satu titik. == Intuisi == Bikin polinomial <math>P(x)</math> yang "nyamar" jadi <math>f(x)</math> di sekitar titik <math>a</math>: * Nilainya sama di <math>x = a</math> * Kemiringan (turunan per..."

New page

'''Taylor Series''' adalah cara merepresentasikan fungsi smooth sebagai polinomial (jumlah tak hingga). Ide intinya: fungsi ribet ($\sin$, $e^x$, $\ln$) diaproksimasi pakai polinomial yang gampang dihitung (cuma tambah-kali), dengan cara menyamakan nilai dan semua turunannya di satu titik.

== Intuisi ==

Bikin polinomial <math>P(x)</math> yang "nyamar" jadi <math>f(x)</math> di sekitar titik <math>a</math>:
* Nilainya sama di <math>x = a</math>
* Kemiringan (turunan pertama) sama
* Kelengkungan (turunan kedua) sama
* ... dst untuk semua orde turunan

f(x) ~ nilai + kemiringan + kelengkungan + ...

f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! (x-a)^2 + ...
| | |
orde 0 orde 1 orde 2

== Rumus Umum ==

<math>f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>

Bentuk panjangnya:

<math>f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots</math>

Kalau <math>a = 0</math>, namanya '''deret Maclaurin'''.

'''Kenapa ada <math>n!</math> di penyebut?''' Tiap kali <math>(x-a)^n</math> diturunkan berulang, muncul faktor <math>n(n-1)(n-2)\cdots</math>. Faktorial di penyebut "membatalkan" faktor ini supaya turunan ke-<math>n</math> polinomial di titik <math>a</math> pas sama dengan <math>f^{(n)}(a)</math>. Itu satu-satunya fungsinya.

== Resep 3 Langkah ==

# Turunkan <math>f</math> berkali-kali
# Evaluasi semua turunan di titik ekspansi <math>a</math>
# Masukkan ke slot-slot rumus

== Contoh Lengkap: e^x ==

'''Step 1 — turunan.''' Keistimewaan <math>e^x</math>: turunannya dirinya sendiri.

<math>f = f' = f'' = f''' = e^x</math>

'''Step 2 — evaluasi di <math>x=0</math>.''' Karena <math>e^0 = 1</math>:

<math>f(0) = f'(0) = f''(0) = \cdots = 1</math>

'''Step 3 — masukkan ke rumus:'''

<math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>

'''Verifikasi numerik''' — hitung <math>e^1</math> term demi term:

{| class="wikitable"
! Term ditambahkan !! Kontribusi !! Total sejauh ini
|-
| <math>1</math> || 1 || 1
|-
| <math>x</math> || 1 || 2
|-
| <math>x^2/2</math> || 0.5 || 2.5
|-
| <math>x^3/6</math> || 0.1667 || 2.6667
|-
| <math>x^4/24</math> || 0.0417 || 2.7083
|-
| <math>x^5/120</math> || 0.0083 || 2.7167
|-
| <math>x^6/720</math> || 0.0014 || 2.7181
|}

Nilai asli <math>e = 2.71828...</math> — 7 term sudah dapat 4 digit benar. Tiap term baru makin kecil karena dibagi faktorial yang tumbuh jauh lebih ganas daripada <math>x^n</math>.

== Contoh Lain yang Sering Dipakai ==

{| class="wikitable"
! Fungsi !! Deret Maclaurin !! Radius konvergensi
|-
| <math>e^x</math> || <math>1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots</math> || <math>\infty</math>
|-
| <math>\sin x</math> || <math>x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots</math> || <math>\infty</math>
|-
| <math>\cos x</math> || <math>1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots</math> || <math>\infty</math>
|-
| <math>\ln(1+x)</math> || <math>x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots</math> || <math>|x| < 1</math>
|-
| <math>\frac{1}{1-x}</math> || <math>1 + x + x^2 + x^3 + \cdots</math> || <math>|x| < 1</math>
|}

Catatan: penyebut <math>\ln(1+x)</math> itu <math>n</math> biasa, bukan <math>n!</math> — faktorialnya "kebatalan" sama pola turunannya. Ini yang bikin konvergensinya jauh lebih lambat.

== Radius of Convergence ==

Deret Taylor '''tidak selalu konvergen di semua <math>x</math>'''. Contoh <math>\ln(1+x)</math>:

konvergen DIVERGEN
|=========|=========X=====================>
-1 0 1 x
^ ^
singularitas batas radius
(ln 0 = -inf)

* Di <math>|x| < 1</math>: konvergen (makin dekat batas, makin lambat)
* Di <math>|x| > 1</math>: divergen total — nambah term malah bikin '''makin parah'''
* Intuisi: deret Taylor "nggak bisa melihat" lebih jauh dari jarak titik ekspansi ke singularitas terdekat. <math>\ln(1+x)</math> punya singularitas di <math>x = -1</math>, jadi radiusnya 1 (simetris ke dua arah).

Implikasi praktis: implementasi <math>\log()</math> di libm tidak pakai Taylor mentah. Triknya '''range reduction''': tulis <math>x = m \cdot 2^e</math> (baca bit exponent IEEE 754), lalu <math>\ln x = \ln m + e\ln 2</math> dengan <math>m \in [1,2)</math> — selalu di zona konvergen cepat. Pola sama dipakai buat <math>\sin</math>/<math>\cos</math> di libm dan CUDA/OpenCL math intrinsics.

== Kapan Berhenti (Truncation) ==

Secara teori deretnya sampai <math>\infty</math>. Secara praktik, potong di orde <math>n</math> → jadi '''polinomial Taylor''' + error:

<math>f(x) = \underbrace{P_n(x)}_{\text{yang dihitung}} + \underbrace{R_n(x)}_{\text{remainder / error}}</math>

Rule of thumb (untuk deret alternating / konvergen cepat): '''error ≈ term pertama yang dibuang.'''

{| class="wikitable"
! Berhenti di !! Error untuk <math>e^1</math>
|-
| 4 term || ~0.05 (2 digit)
|-
| 7 term || ~0.0002 (4 digit)
|-
| 10 term || ~1e-7 (7 digit)
|-
| 18 term || ~1e-16 — mentok presisi double
|}

Double IEEE 754 presisinya ~16 digit desimal. Nambah term lewat itu percuma — error sudah di bawah machine epsilon.

== Implementasi Python ==

Loop dengan stopping criterion natural (berhenti pas kontribusi term < toleransi):

<syntaxhighlight lang="python">
def my_exp(x, tol=1e-12):
total = 0.0
term = 1.0 # term ke-0: x^0/0! = 1
n = 0
while abs(term) > tol:
total += term
n += 1
term *= x / n # term berikutnya = term sekarang * x/n
return total

print(my_exp(1.0)) # 2.718281828459045
</syntaxhighlight>

Trik penting: <code>term *= x / n</code> — jangan hitung <math>x^n</math> dan <math>n!</math> dari nol tiap iterasi (overflow untuk <math>n</math> besar), cukup update term sebelumnya secara inkremental.

Verifikasi simbolik pakai sympy:

<syntaxhighlight lang="python">
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
print(sp.series(sp.exp(x), x, 0, 6))
# 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)
</syntaxhighlight>

== Relevansi ke CFD / HPC ==

* '''Finite difference = aplikasi langsung Taylor.''' Skema <math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x}</math> diturunkan dari ekspansi <math>u(x + \Delta x)</math>. Analisis order of accuracy (kenapa forward difference <math>O(\Delta x)</math>, central difference <math>O(\Delta x^2)</math>) semuanya lewat Taylor. Fondasi seluruh numerical PDE, termasuk 12 Steps to Navier-Stokes.
* '''Fungsi transcendental di hardware.''' <code>sinf()</code>, <code>expf()</code>, <code>__sinf()</code> CUDA — implementasinya polinomial evaluation (minimax polynomial, sepupunya Taylor) + range reduction.
* '''Konvergensi itu conditional.''' Jangan asumsi semua fungsi bisa di-Taylor-kan sembarangan di semua titik — cek radius of convergence.

== Lihat Juga ==

* [[Turunan Parsial]]
* [[Finite Difference]] ''(planned)''
* [[12 Steps to Navier-Stokes]] ''(planned)''

[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Scientific Computing]]
[[Kategori:Roadmap CFD]]

Taylor Series - Revision history