View source for Step 1: Konveksi linear 1-D

'''Konveksi linear 1-D''' adalah PDE paling sederhana yang bisa dipakai buat belajar fondasi [[CFD]]. Persamaan ini memodelkan gelombang yang merambat dengan kecepatan konstan tanpa berubah bentuk. Walaupun kelihatan remeh, hampir semua ide inti CFD — diskritisasi, time-stepping, stabilitas, numerical diffusion — udah muncul di sini.

== Persamaan ==

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0</math>

{| class="wikitable"
! Simbol !! Arti !! Analogi
|-
| <math>u(x,t)</math> || besaran yang diangkut (mis. konsentrasi) || tinggi air / asap di angin
|-
| <math>c</math> || kecepatan rambat (konstan) || kecepatan angin
|-
| <math>\partial u / \partial t</math> || laju perubahan di satu titik seiring waktu || "seberapa cepat berubah sambil gua diem nunggu"
|-
| <math>\partial u / \partial x</math> || kemiringan spasial || "beda gua dengan sensor sebelah"
|}

Cara baca (disusun ulang): <math>\partial u/\partial t = -c\,\partial u/\partial x</math> → '''perubahan terhadap waktu di suatu titik ditentukan oleh kemiringan spasial di titik itu, dikali kecepatan.''' Informasi datang dari arah hulu (upstream).

=== Solusi eksak ===

Dengan kondisi awal <math>u(x,0) = u_0(x)</math>:

<math>u(x,t) = u_0(x - ct)</math>

Artinya: bentuk awal '''digeser''' ke kanan sejauh <math>ct</math>, tanpa berubah bentuk. Puncak yang awalnya di <math>x=5</math> pada waktu <math>t</math> ada di <math>x = 5 + ct</math>.

Solusi eksak ini penting sebagai '''alat verifikasi''': kalau hasil numerik menyimpang, kita tahu itu salah metode, bukan salah fisika. (Konsep terkait: [[Method of Manufactured Solutions]].)

== Analogi: estafet bisik-bisik ==

 Anak-anak berdiri sejajar, jarak antar anak = Δx.
 Tiap ronde (Δt), pesan cuma boleh dibisikkan ke tetangga sebelah.

    o    o    o    o    o    o        ← sensor / titik grid
    |----|
      Δx

 Gelombang lari dengan kecepatan c.
 Dalam satu ronde, gelombang menempuh jarak c·Δt.

 c·Δt ≤ Δx  → gelombang TIDAK menyalip pesan → simulasi aman
 c·Δt > Δx  → gelombang menyalip → anak "ngarang" → MELEDAK

== Diskritisasi ==

Komputer tidak mengerti turunan (konsep limit / jarak tak-hingga kecil). Yang dia punya cuma:
* '''Grid ruang''': titik <math>x_i</math>, <math>i = 0 \dots N</math>, jarak <math>\Delta x</math> → index array
* '''Langkah waktu''': foto ke-<math>n</math>, selisih <math>\Delta t</math> → iterasi loop

Notasi <math>u_i^n</math> = "nilai u di titik ke-i, pada langkah waktu ke-n" = <code>u[i]</code> pada iterasi ke-n. Superscript n '''bukan pangkat'''.

=== Mengganti turunan dengan pengurangan ===

Dari definisi turunan, buang limit-nya (justifikasi formal: [[Deret Taylor]]):

{| class="wikitable"
! Turunan !! Skema !! Aproksimasi !! Alasan pemilihan
|-
| <math>\partial u/\partial t</math> || Forward difference || <math>\dfrac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> || kita mau maju ke masa depan
|-
| <math>\partial u/\partial x</math> || Backward difference || <math>\dfrac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x}</math> || informasi datang dari kiri (hulu) → [[Skema Upwind]]
|}

=== Persamaan diskrit ===

<math>\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} + c \frac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0</math>

Satu-satunya yang tidak diketahui: <math>u_i^{n+1}</math> (masa depan). Pindah ruas:

<math>u_i^{n+1} = u_i^n - c\frac{\Delta t}{\Delta x}\left(u_i^n - u_{i-1}^n\right)</math>

'''Bahasa manusia:''' nilai baru = nilai lama − koreksi berdasarkan selisih dengan tetangga kiri.

== Paradigma: time-stepping / marching ==

 state SEKARANG + ATURAN perubahan  →  state SEBENTAR LAGI
        ↑                                      |
        └────────────── ulangi ────────────────┘

 frame 0 → frame 1 → frame 2 → frame 3 → ...

Paradigma yang sama dipakai di prakiraan cuaca, orbit satelit, molecular dynamics, dan physics engine game. Yang berbeda cuma aturannya (PDE-nya) dan ukuran grid-nya.

Peta lengkap dari fisika ke kode:

 PDE (fisika)        = aturan alam
 Finite difference   = terjemahan aturan → aritmetika array
 Persamaan update    = resep: frame[n+1] = f(frame[n])
 Loop time-stepping  = jalankan resep berulang
 CFL                 = batas kecepatan biar tidak ngaco

Skema ini tipe '''explicit''' (masa depan dihitung langsung dari masa kini). Alternatifnya [[Metode Implicit]] — lebih mahal per langkah, tapi bebas batas CFL; relevan buat [[HPC]] karena explicit = embarrassingly parallel / GPU-friendly.

== Implementasi ==

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np

nx = 81                    # jumlah titik grid
dx = 2 / (nx - 1)          # jarak antar titik
nt = 25                    # jumlah langkah waktu
dt = 0.02                  # ukuran langkah waktu (cek CFL!)
c  = 1.0                   # kecepatan gelombang

# kondisi awal: fungsi topi (hat function)
u = np.ones(nx)
u[int(0.5/dx):int(1/dx + 1)] = 2

for n in range(nt):
    un = u.copy()          # WAJIB: simpan state lama
    for i in range(1, nx):
        u[i] = un[i] - c * dt/dx * (un[i] - un[i-1])
</syntaxhighlight>

'''Bug klasik pemula:''' lupa <code>un = u.copy()</code>. Semua titik harus di-update pakai nilai langkah n, bukan nilai yang setengah ter-update. Hasilnya sekilas mirip, tapi fisikanya salah.

'''Catatan gaya:''' jangan langsung di-vectorize. Nested loop dulu biar fisikanya kelihatan; vectorize (<code>u[1:] = un[1:] - c*dt/dx*(un[1:] - un[:-1])</code>) sebagai exercise terpisah + bahan benchmark loop vs vectorized vs numba.

== Kondisi CFL (Courant–Friedrichs–Lewy) ==

<math>\text{CFL} = \frac{c\,\Delta t}{\Delta x} \le 1</math>

{| class="wikitable"
! CFL !! Kondisi !! Perilaku
|-
| ≤ 1 || gelombang menempuh ≤ 1 sel grid per langkah waktu || stabil
|-
| > 1 || gelombang "menyalip" informasi grid || osilasi zigzag tumbuh eksponensial → meledak
|}

Intuisi: '''informasi fisik tidak boleh lari lebih cepat daripada informasi numerik.''' Stabilitas ditentukan kombinasi c, Δt, dan Δx — bukan Δt sendirian. Pembuktian formal: [[Analisis von Neumann]].

== Numerical diffusion ==

Fenomena: sudut-sudut tajam gelombang kotak makin lama makin '''tumpul/melengkung''', padahal solusi eksak bentuknya tetap.

* Ini '''bukan bug''' — efek samping error truncation dari skema backward difference orde-1
* Error-nya berperilaku seperti suku difusi (makanya disebut numerical ''diffusion'')
* Trade-off akurasi vs stabilitas adalah tema besar di CFD; skema orde tinggi mengurangi ini tapi bawa masalah lain
* Detail: [[Numerical Diffusion]], [[Error Truncation]]

== Kertas vs komputer ==

Pembagian kerja di scientific computing:

{| class="wikitable"
! Kerjaan komputer !! Kerjaan kertas (tidak bisa di-outsource)
|-
| menghitung solusi PDE (menjalankan resep) || menurunkan resep update dari Taylor series
|-
| menjalankan jutaan iterasi || analisis stabilitas (von Neumann → dari mana CFL ≤ 1)
|-
| || verifikasi kode via solusi eksak
|-
| || debugging fisika: "bug di kode, atau memang perilaku matematisnya?"
|}

Analogi: kertas itu posisinya kayak assembly buat programmer Rust — bukan tempat produksi, tapi tempat memahami dan mendiagnosis. Porsi realistis: ~90% ngoding, ~10% coret-coretan, tapi 10% itu yang membedakan "bisa menjalankan notebook" dari "mengerti CFD".

== Checklist penguasaan ==

* [x] Paham arti fisik persamaan konveksi (aturan estafet)
* [x] Paham solusi eksak u₀(x − ct) dan fungsinya sebagai alat verifikasi
* [x] Paham notasi u_i^n (i = index ruang, n = index waktu)
* [x] Bisa menurunkan persamaan update dari persamaan diskrit
* [x] Paham intuisi CFL (gelombang vs kecepatan informasi grid)
* [x] Paham numerical diffusion itu bukan bug
* [ ] Implement Step 1 sendiri di NumPy (tanpa lihat notebook)
* [ ] Reproduce ledakan CFL di matplotlib (coba CFL = 1.1)
* [ ] Eksperimen: plot hasil pada CFL = 0.5 vs 0.9 vs 1.0 — bandingkan ketumpulan sudut
* [ ] Vectorize loop + benchmark vs nested loop
* [ ] Bonus: turunkan sendiri forward difference dari ekspansi Taylor

== Lihat juga ==

* [[Turunan Parsial]]
* [[Taylor Series]]
* [[Finite Difference]]
* [[Divergence dan Curl]]
* [[Skema Upwind]]
* [[Analisis von Neumann]]
* [[Step 2: Konveksi Nonlinear 1-D]]