View source for Chain Rule & Product Rule

'''Chain rule''' (aturan rantai) dan '''product rule''' (aturan perkalian) adalah dua teknik inti diferensiasi yang mencakup ~80% pekerjaan menurunkan [[Persamaan Diferensial Parsial|PDE]]. Artikel ini merangkum hasil sesi drill bertingkat 6 level, dari pangkat sederhana sampai turunan parsial untuk verifikasi solusi [[Persamaan Panas|persamaan panas]].

== Chain Rule ==

=== Definisi ===

Dipakai saat ada '''fungsi di dalam fungsi''' (komposisi):

<math>\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)</math>

Bahasa manusianya: '''turunkan fungsi luar (isi dalamnya jangan diutak-atik), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.'''

=== Intuisi ===

Laju perubahan berantai. Jika harga BBM naik 2x lebih cepat dari inflasi, dan ongkir naik 3x lebih cepat dari harga BBM, maka ongkir naik <math>3 \times 2 = 6</math>x lebih cepat dari inflasi. Laju perubahan '''dikalikan berantai''' — makanya disebut ''chain'' rule.

=== Cara mengenali ===

Tanya ke diri sendiri: ''"ada 'sesuatu' di dalam fungsi lain nggak?"''

* <math>\sin(\text{sesuatu})</math>
* <math>e^{\text{sesuatu}}</math>
* <math>(\text{sesuatu})^n</math>

Kalau "sesuatu"-nya bukan sekadar <math>x</math> polos → chain rule.

=== Cheat sheet pola ===

{| class="wikitable"
! Bentuk !! Turunan
|-
| <math>(\text{dalem})^n</math> || <math>n(\text{dalem})^{n-1} \cdot \text{dalem}'</math>
|-
| <math>\sin(\text{dalem})</math> || <math>\cos(\text{dalem}) \cdot \text{dalem}'</math>
|-
| <math>\cos(\text{dalem})</math> || <math>-\sin(\text{dalem}) \cdot \text{dalem}'</math>
|-
| <math>e^{\text{dalem}}</math> || <math>e^{\text{dalem}} \cdot \text{dalem}'</math>
|-
| <math>\ln(\text{dalem})</math> || <math>\dfrac{1}{\text{dalem}} \cdot \text{dalem}'</math>
|}

Semua polanya sama: '''turunan luar × turunan dalam'''. Tidak ada pengecualian.

=== Chain rule berlapis ===

Untuk 3+ lapis, kupas seperti bawang dari luar ke dalam. Tiap lapis menyumbang '''satu faktor perkalian'''.

Contoh: <math>y = \sin\!\left(e^{x^2}\right)</math>

 Lapis 1 (terluar) : sin(.)   -> cos(e^(x^2))
 Lapis 2 (tengah)  : e^(.)    -> e^(x^2)
 Lapis 3 (terdalam): x^2      -> 2x
 ------------------------------------------
 Hasil = kalikan semuanya

<math>y' = \cos\!\left(e^{x^2}\right) \cdot e^{x^2} \cdot 2x</math>

{{Peringatan|'''Jebakan #1: tanda minus di lapis tengah.''' Saat <math>\cos</math> berada di lapis tengah (bukan terluar), tanda negatif dari turunannya gampang kececer. Contoh error nyata: <math>y = e^{\cos(2x)}</math> → jawaban benar <math>-2\sin(2x)\,e^{\cos(2x)}</math>, tanda minusnya sempat hilang. '''Fix:''' tulis turunan tiap lapis eksplisit satu-satu dulu, baru kalikan di akhir. Jangan gabungkan di kepala.}}

== Product Rule ==

=== Definisi ===

Dipakai saat ada '''perkalian dua fungsi''' yang sama-sama mengandung variabel yang diturunkan:

<math>(uv)' = u'v + uv'</math>

=== Kapan wajib, kapan tidak ===

{| class="wikitable"
! Kasus !! Contoh (turunkan thd <math>x</math>) !! Perlu product rule?
|-
| Kedua faktor mengandung <math>x</math> || <math>x^3\sin(2x)</math> || '''Ya'''
|-
| Satu faktor tidak mengandung <math>x</math> || <math>e^{-\alpha k^2 t}\sin(kx)</math> || '''Tidak''' — faktor <math>e^{-\alpha k^2 t}</math> konstanta
|}

Chain rule sering '''nyempil di dalam''' product rule saat menurunkan masing-masing faktor.

== Turunan Parsial: Resep 4 Langkah ==

Konteks: fungsi multivariabel <math>u(x,t)</math>, ini habitat asli [[Persamaan Diferensial Parsial|PDE]].

# '''Sortir''': faktor mana mengandung variabel yang diturunkan, mana yang "penonton"
# Penonton → keluarkan, jadi konstanta pengali
# Sisa '''satu''' faktor → chain rule biasa; sisa '''dua''' faktor → product rule
# Kalikan balik penontonnya

=== Contoh worked: verifikasi solusi persamaan panas ===

Buktikan <math>u(x, t) = e^{-\alpha k^2 t} \sin(kx)</math> solusi dari:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

'''Sisi kiri''' — <math>\sin(kx)</math> jadi penonton:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} = -\alpha k^2 \, e^{-\alpha k^2 t} \sin(kx)</math>

'''Sisi kanan''' — <math>e^{-\alpha k^2 t}</math> jadi penonton, chain rule 2x:

<math>\frac{\partial u}{\partial x} = k \, e^{-\alpha k^2 t} \cos(kx)</math>

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -k^2 e^{-\alpha k^2 t} \sin(kx)</math>

<math>\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\alpha k^2 \, e^{-\alpha k^2 t} \sin(kx) \quad \checkmark</math>

Kedua sisi identik. Terbukti.

=== Shortcut ===

Untuk <math>u = e^{-\lambda t}\sin(kx)</math> sebagai solusi persamaan panas:

<math>\alpha = \frac{\lambda}{k^2}</math>

Contoh: <math>u = e^{-4t}\sin(3x)</math> → <math>\alpha = 4/9</math>.

=== Intuisi fisik ===

* <math>\sin(kx)</math> = bentuk gelombang spasial (tidak berubah bentuk)
* <math>e^{-\alpha k^2 t}</math> = amplitudo meluruh seiring waktu — panas menyebar, profil temperatur makin rata
* Faktor <math>k^2</math> di eksponen: gelombang frekuensi tinggi (detail halus) meluruh '''jauh lebih cepat''' — inilah kenapa diffusion "menghaluskan" solusi

== Jembatan ke CFD ==

Bentuk diskrit <math>\partial^2 u / \partial x^2</math> yang dipakai di step diffusion [[12 Steps to Navier-Stokes|12 Steps to Navier-Stokes-nya Barba]] (central difference):

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2}</math>

Turunan bentuk ini dari [[Deret Taylor]] adalah gap berikutnya di [[Roadmap_Kalkulus_CFD]].

== Log Drill (2026-07-18) ==

{| class="wikitable"
! Level !! Materi !! Soal !! Hasil
|-
| 1 || Pangkat, dalem linear || 3 || ☑ 3/3
|-
| 2 || Trigonometri || 3 || ☑ 3/3
|-
| 3 || Eksponensial || 3 || ☑ 3/3
|-
| 4 || Chain rule berlapis || 4 || ☒ 3/4 — slip tanda di <math>e^{\cos(2x)}</math>, revenge di 4.4 ☑
|-
| 5 || Product + chain rule || 3 || ☑ 3/3
|-
| 6 || Turunan parsial (PDE) || 3 || ☑ 3/3
|}

'''Total: 18/19.''' Satu-satunya error: tanda minus di lapis tengah (level 4), langsung diperbaiki dan tidak terulang di level 5–6 meski jebakannya sama.

== Verifikasi SymPy ==

Sesuai metodologi implementation-first — spot-check jawaban manual:

<syntaxhighlight lang="python">
import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t')

# Contoh: soal 6.3
u = sp.exp(-2*t) * sp.sin(x) * sp.cos(3*t)
jawaban_manual = sp.sin(x) * (-2*sp.exp(-2*t)*sp.cos(3*t) - 3*sp.exp(-2*t)*sp.sin(3*t))

# Harus keluar 0 kalau benar
print(sp.simplify(jawaban_manual - sp.diff(u, t)))
</syntaxhighlight>

== Lihat juga ==

* [[Turunan Dasar]]
* [[Persamaan Diferensial Parsial]]
* [[Persamaan Panas]]
* [[Taylor Series]]
* [[Finite Difference]]
* [[Roadmap_Kalkulus_CFD]]
* [[12 Steps to Navier-Stokes]]